Адам Игнатьевич Цвецинский родился 4 января 1826 года в имении Мосар Витебской губернии. Происходил из старинного белорусского шляхетского рода. Получил воспитание в Новгородском кадетском корпусе, окончил курс Главного инженерного училища  в 1848 году. В 1850 году переведён в Лейб-гвардии Московский полк, в 1860 году назначен командиром 5-го стрелкового батальона, награждён за отличия орденами Святой Анны и Святого Владимира.

В 1864 году Цвецинский назначен был командиром 20-го пехотного Галицкого полка, а в 1871 году произведён в генерал-майоры с назначением командиром 4-й стрелковой бригады, которая приобрела громкую известность в русско-турецкую войну 1877—1878 гг.

15 июня 1877 года Цвецинский с бригадою, находясь в авангарде, переправился через Дунай у Зимницы, с 20 июня находился в отряде генерал-адъютанта Гурко, с которым совершил первый забалканский поход, где в течение 18 дней участвовал в семи сражениях. В особенности отличился Цвецинский в сражении под Уфлани, за которое 11 августа 1877 года получил орден Святого Георгия 4-й степени.

Затем Цвецинский участвовал в защите Шипкинского перевала, в критическую для Шипкинского гарнизона минуту подоспел ему на помощь и в значительной мере способствовал сохранению. Его бригада понесла значительные потери, а сам Цвецинский лично непрестанно оставался под сильнейшим неприятельским огнём. За оборону Шипки он получил чин генерал-лейтенанта. Весной 1878 года Адам Цвецинский вынужден был по болезни оставить действующую армию, назначен начальником 36-й пехотной дивизии, затем 1-й гренадерской дивизии.

20 ноября 1879 года Адам Игнатьевич был назначен генерал-адъютантом, получил Орден Белого Орла. В 1881 году Цвецинский вследствие постигшей его тяжкой болезни уехал лечиться в Ниццу, где 30 июня скончался.

Генерал Цвецинский считался в своё время одним из лучших знатоков стрелкового дела.